Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$F_n\: \geqslant \left ( \frac{8}{5} \right )^{n-2} \quad (FIBONACCI)$
	F₁= 1 F₂= 1 F_n = F_n-1 + F_n-2
Bewijs :
Deel I :	We passen hier het principe van de sterke inductie toe, d.w.z. dat we de formule controleren voor (minstens) twee n-waarden, hier n = 1 en n = 2. Die methode wordt nog al eens gebruikt bij recursieformules die twee (of meer) stappen terug gaan. $\newline F_1=1 \: \geqslant \left ( \frac{8}{5} \right )^{-1}=\frac{5}{8}\; \rightarrow \; O.K. \newline F_2=1 \: \geqslant \left ( \frac{8}{5} \right )^0 = 1 \rightarrow \; O.K.$

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II :	Gegeven :	$F_k \: \geqslant \left ( \frac{8}{5} \right )^{k-2}\;\: EN\quad F_{k-1} \: \geqslant \left ( \frac{8}{5} \right )^{k-3}\ \quad (k=2,3,...)$
	Te bewijzen :	$F_{k+1} \: \geqslant \: \left ( \frac{8}{5} \right )^{k-1}\;\:$
	Bewijs :	LL = F_k + F_k−1
		__ $\geq \left ( \frac{8}{5} \right )^{k-2}+ \left ( \frac{8}{5} \right )^{k-3}$
		__ $=\left ( \frac{8}{5}\right )^{k-1} \left [\left ( \frac{8}{5} \right )^{-1}+ \left ( \frac{8}{5} \right )^{-2} \right ]$
		__ $=\left ( \frac{8}{5}\right )^{k-1} \left [ \frac{5}{8}+ \frac{25}{64} \right ]$
		__ $=\left ( \frac{8}{5}\right )^{k-1} \cdot \frac{40+25}{64}\: =\: \left ( \frac{8}{5}\right )^{k-1} \cdot \frac{65}{64}$
		__ $\geqslant \left ( \frac{8}{5}\right )^{k-1}=RL\quad Q.E.D.$

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP